Т.В. Чернова
Экономическая статистика
Учебное пособие. Таганрог: Изд-во ТРТУ,
1999
Глава 5. Средние величины. Показатели вариации
5.4. Показатели вариации
Конкретные условия, в которых находится каждый из изучаемых объектов, а также особенности
их собственного развития (социальные, экономические и пр.) выражаются соответствующими числовыми
уровнями статистических показателей. Таким образом, вариация, т.е. несовпадение уровней
одного и того же показателя у разных объектов, имеет объективный характер и помогает познать
сущность изучаемого явления.
Для измерения вариации в статистике применяют несколько способов.
Наиболее простым является расчет показателя размаха вариации Н как разницы между максимальным
(Xmax ) и минимальным (Xmin) наблюдаемыми значениями признака:
H=Xmax - Xmin.
Однако размах вариации показывает лишь крайние значения признака. Повторяемость промежуточных
значений здесь не учитывается.
Более строгими характеристиками являются показатели колеблемости относительно среднего уровня
признака. Простейший показатель такого типа – среднее линейное отклонение Л как среднее
арифметическое значение абсолютных отклонений признака от его среднего уровня:
При повторяемости отдельных значений Х используют формулу средней арифметической взвешенной:
(Напомним, что алгебраическая сумма отклонений от среднего уровня равна нулю.)
Показатель среднего линейного отклонения нашел широкое применение на практике. С его помощью
анализируются, например, состав работающих, ритмичность производства, равномерность поставок
материалов, разрабатываются системы материального стимулирования. Но, к сожалению, этот показатель
усложняет расчеты вероятностного типа, затрудняет применение методов математической статистики.
Поэтому в статистических научных исследованиях для измерения вариации чаще всего применяют
показатель дисперсии.
Дисперсия признака (s2) определяется на основе квадратической степенной средней:
.
Показатель s, равный , называется средним квадратическим отклонением.
В общей теории статистики показатель дисперсии является оценкой одноименного показателя теории
вероятностей и (как сумма квадратов отклонений) оценкой дисперсии в математической статистике,
что позволяет использовать положения этих теоретических дисциплин для анализа социально-экономических
процессов.
Если вариация оценивается по небольшому числу наблюдений, взятых из неограниченной генеральной
совокупности, то и среднее значение признака определяется с некоторой погрешностью. Расчетная
величина дисперсии оказывается смещенной в сторону уменьшения. Для получения несмещенной оценки
выборочную дисперсию, полученную по приведенным ранее формулам, надо умножить на величину
n / (n - 1). В итоге при малом числе наблюдений (< 30) дисперсию признака рекомендуется
вычислять по формуле
.
Обычно уже при n > (15÷20) расхождение смещенной и несмещенной оценок становится
несущественным. По этой же причине обычно не учитывают смещенность и в формуле сложения дисперсий.
Если из генеральной совокупности сделать несколько выборок и каждый раз при этом определять
среднее значение признака, то возникает задача оценки колеблемости средних. Оценить дисперсию
среднего значения можно и на основе всего одного выборочного наблюдения по формуле
,
где n – объем выборки; s2 – дисперсия признака, рассчитанная по данным выборки.
Величина носит название средней ошибки выборки и является
характеристикой отклонения выборочного среднего значения признака Х от его истинной средней
величины. Показатель средней ошибки используется при оценке достоверности результатов выборочного
наблюдения.
Показатели относительного рассеивания. Для характеристики меры колеблемости изучаемого
признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать
характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того
же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных
совокупностей). Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение
абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической, умножаемое на 100%.
1. Коэффициентом осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений
признака вокруг средней
.
2. Относительное линейное отключение характеризует долю усредненного значения признака абсолютных
отклонений от средней величины
.
3. Коэффициент вариации:
является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности
средних величин.
В статистике совокупности, имеющие коэффициент вариации больше 30–35 %, принято считать неоднородными.
У такого способа оценки вариации есть и существенный недостаток. Действительно, пусть, например,
исходная совокупность рабочих, имеющих средний стаж 15 лет, со средним квадратическим отклонением
s = 10 лет, «состарилась» еще на 15 лет. Теперь = 30 лет, а среднеквадратическое отклонение по-прежнему
равно 10. Совокупность, ранее бывшая неоднородной (10/15 × 100 = 66,7%), со временем
оказывается, таким образом, вполне однородной (10/30 × 100 = 33,3 %).
|